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"Si vous voulez savoir l’évolution d’une épidémie, vous avez besoin d’un modèle mathématique"

Fernuando Peruani, avec un collaborateur et un étudiant en thèse, est actuellement en train de modifier et d’adapter un modèle mathématique épidémiologique qu’il avait développé il y a des années. Il cherche à décrire l’évolution du covid-19, et à prédire cette évolution dans différentes situations hypothétiques, afin par exemple d’évaluer l’impact de différentes mesures qui seraient prises pour tenter de freiner et d’enrayer l’épidémie.
Toujours en phase recherche, leur objectif n’est pas simplement d’observer la croissance exponentielle et de mesurer le taux de croissance de l’épidémie dans cette phase, mais de comprendre l’évolution temporelle de l’épidémie. Ils espèrent déterminer le maximum de personnes contaminées, la durée de l’épidémie, le nombre de personnes qui auront été touchées par le virus à la fin de l'épidémie, l’effet d’isolation, etc.
Le chercheur, en poste au Laboratoire Jean Alexandre Dieudonné, nous explique pourquoi l'utilisation de modèles mathématiques est pertinente dans la crise mondiale du coronavirus.


Publication : 25/03/2020
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 Que valent les modèles prédictifs sur l’évolution de l’épidémie de coronavirus? 

La modélisation des épidémies est un problème classique de mathématique biologique, et c’est un problème qu’on peut aborder avec des outils mathématiques. Quand le nombre de personnes touchées par une maladie est faible, les fluctuations sont très importantes et il est impossible de prédire avec certitude l’évolution de l’épidémie (mais on peut travailler avec des probabilités: probabilité qu’on passe de 10 cas à 15 cas, etc). Une fois qu’on a quelques centaines de personnes infectées, l’évolution de l’épidémie devient presque déterministe. Pour une épidémie du type SIR (1), ce qui semble être le cas du covid-19, on observe une croissance exponentielle au début du processus de contamination, puis une saturation, et finalement le nombre de personnes touchées diminue. Cependant, le pic d’infection pendant toute l’épidémie ou le nombre de personnes touchées par le virus à la fin de l’épidémie dépendent fortement de la politique de santé publique. 

Quelles données les modèles prennent-ils en considération? 

L’évolution temporelle de i) le nombre de personnes susceptible d’être infectées, ii) le nombre de personnes effectivement infectées au temps t, et iii) les personnes guéries ou décédées, ainsi que la taille de la population. Les taux d’infection, de guérison ou de mort son estimés à partir des données. Les modèles plus complexes (comme le notre) contiennent aussi une modélisation des contacts entre les personnes, et avec les moyens humains nécessaires on peut même avoir un niveau de détail incluant les types de transport : avion, train, etc, ou encore la distribution d’âge dans la population et aussi l’effet d’avoir plusieurs systèmes couplés. On habite dans un monde très connecté en ce moment où les personnes circulent d’un pays à  autre. Le confinement de la France permet de contrôler l’épidémie, mais une fois la circulation de gens (entre pays) rétabli, de nouvelles vagues épidemiques risquent d'émerger. Donc, on essaie de comprendre l’évolution du covid-19 à l’échelle mondiale. Sans une coordination globale, plusieurs vagues épidemiques vont se succéder et les pays vont être touchés à plusieurs reprises. Ceci nous permet de comprendre l’impact de la mobilité au niveau de l’évolution de l’épidémie. Mais il faut faire attention à ce que le modele ne devienne pas trop compliqué non plus. Car dans ce cas, on risque de ne même plus comprendre le modèle.  

Quelle marge d’erreur contiennent-ils? 

Quand on parle de milliers de personnes infectées, les modèles marchent super bien. Mais si on prend des mesures pour tenter d’agir sur la propagation de l’épidémie, il faut estimer à nouveau les paramètres. 

Y en a t-t-il de meilleurs que d’autres? 

Oui. Plus on a d’informations sur le comportement des gens et au mieux on parvient à inclure ça dans le modèle, plus le modèle fonctionne bien. Il est important de réaliser que pour comprendre l’évolution d’une épidémie (i.e. le nombre d’infectés, etc) il est plus important de pouvoir décrire quantitativement le comportement des personnes, en particulier la fréquence de contact et la durée des contacts, que les détails biologiques de la maladie. Concernant la maladie, on doit seulement savoir si elle est du type SIR, SIRS (2), etc et après estimer plusieurs paramètres phénoménologiques. 

Combien de temps sont-ils valables ? 

En l’absence d’intervention et dès lors qu’on a des milliers de personnes contaminées, ils sont valables pendant toute l’évolution de l’épidémie et donnent une bonne description du phénomène. Mais si les personnes changent leur comportement, par exemple en raison d’une politique de santé publique qui impose des restrictions, etc, les paramètres doivent être recalculés.

Comment modéliser un phénomène qui décrit le comportement d’une variable (le covid-19) incomplètement connue ?

Comme les modèles épidémiologiques utilisent des paramètres phénoménologiques (taux d’infection, taux de guérison), on n’a pas besoin de connaitre grand chose du virus. Ici, on parle de comment prédire le nombre de personnes infectées, et de comment la mobilité des personnes modifie l’évolution de l’épidémie. On ne parle pas de quoi faire pour guérir les malades, ou comment arriver à produire un vaccin contre le virus. Ça, c’est la tache de microbiologistes, des médecins, etc. Si vous voulez savoir l’évolution d’une épidémie, vous avez besoin d’un modèle mathématique.  Si vous voulez un vaccin, vous avez besoin de connaitre la biologie du virus: son interaction avec le système immunitaire, etc.   

Pourquoi la courbe d’évolution de la pandémie publiée par le New-York Times (https://www.nytimes.com/2020/03/11/science/coronavirus-curve-mitigation-infection.html)  montre qu’avec le confinement, l’épidémie est mieux contenue mais dure en revanche plus longtemps ? 

Avec un simple modèle comme celui qu’on est un train d’utiliser on trouve que la durée est plus longue en utilisant des mesures de confinement, mais toujours en imaginant qu’il existe un minimum d’interactions entre les gens pour permettre au virus de continuer à se propager (comme dans l’image publiée par le NY times). Une durée plus longue est liée au fait que la fin de l’épidémie arrive quand le nombre d’individus susceptibles d’être contaminés est en dessous d’un seuil. Mais la seule manière de diminuer le nombre d’individus susceptibles d’être infectés est de contaminer ces individus par le virus; après, guéris ou morts, ils ne participeront plus à la transmission de la maladie. Avec le confinement, la dynamique de la maladie est plus lente, et donc on doit attendre un peu plus pour arriver au seuil qui nous indique la fin de l’épidémie. Mais le plus important à comprendre avec le confinement, c’est que même si la durée de l’épidémie est plus longue, le nombre de personnes touchées par le virus diminue (et donc aussi les morts). 

La figure ci-dessous a été justement élaborée pour discuter le phénomène. 



 
  1.  Modèle SIR : modèle « simple » en épidémiologie, où les personnes peuvent se trouver dans trois états : i) sains et susceptibles d’être infectées, ii) infectés et donc capables de transmettre la maladie, et iii) guéris et immunisés ou morts. 
  2. Modèle SIRS : Similaire au modele SIR, mais où les personnes guéries et immunisées, après un certain temps deviennent susceptibles à nouveau d’être infectées. Le covid-19 semble être du type SIR, mais il a été observé dans un nombre faible de cas que des personnes guéries sont tombées malades à nouveau. Si cela se confirme, la situation est bien plus complexe que dans le modèle actuel.    

 Crédit photo : Pixabay